Oyun Teorisi

Oyun oynarken ihtiyacımız olan aslında sadece biraz matematik biraz şizofreni.

Geçtiğimiz Mayıs ayında trafik kazasında kaybettiğimiz, Akıl Oyunları (Beautiful Minds) sayesinde bilindiğini tahmin ettiğim bir matematikçiden ve ne yapmış olduğundan biraz bahsedeceğim bu yazıda; John (Forbes) Nash. Çağımızın Nobel ödüllü bir bilimadamı olarak benim gibi birçok öğrenciye ilham kaynağı olduğu gibi, yaşadığı hayatla herkese ilham olabilecek bir şizofreni hastasıdır John Nash. Princeton Üniversitesi’ndeyken “Oyun Teorisi” üzerine yazdığı doktora tezi ve sonraki çalışmalarından dolayı 1994’de Nobel alır. Söylemeden geçemeyeceğim, sanılanın aksine Nobel Matematik ödülü diye bir şey yoktur, John Nash de Nobel Ekonomi ödülünü almıştır. Ayrıca, lineer olmayan kısmi diferansiyal denklemler üzerine yaptığı çalışmalardan dolayı bu yıl aldığı Abel Prize (ve bir önceki yazıda bahsettiğim Fields madalyası) matematikçilerin Nobel’i olarak biliniyor. 30 yaşında şizofreni belirtileri göstermeye başlayıp, hayatının büyük bir kısmını bu hastalıkla geçirmesine rağmen bu yüzyılın en büyük dahilerinden birisi olduğu muhakkak. (Hayali Princeton’dan kabul alıp, John Nash’in odasında kalmak olan öğrenciler bile var.) Hayatını merak ediyorsanız ve izlemediyseniz Akıl Oyunları’nı (aynı isimli kitaptan uyarlama) şiddetle tavsiye ediyorum. 2002 en iyi film Oscar’ı başta olmak üzere bol ödüllü bir filmdir.

Biraz ne yaptığından bahsedeyim. Oyun teorisi, her oyuncunun kendi hamlesine karşın diğerlerinin yapacağı hamleyi hesaba kattığı stratejik durumlardaki insan davranışlarını (tercihlerini) inceler. Teori politika, poker, biyoloji, en çok da ekonomi ve farklı alanlarda  davranışları modellemek için kullanıyor. Bu noktada, John Nash diyor ki, karma stratejili (oyuncuların tercihlerini belli bir olasılıkla seçmeleri), sonlu sayıda oyuncunun, sonlu sayıda tercih ile oynadığı her oyunun bir dengesi vardır. (Nash dengesi olarak geçiyor.) Bu denge noktasında, her oyuncu diğer oyuncuların stratejilerine bakıldığında en iyi konumdadır, yapacağı bir hamle değişikliği ona kazanç sağlamaz. Bunu ünlü tutsak ikilemi ile örneklendireyim. Elimizde polis tarafından yakalanmış iki suçlu var; Merve ve Gözde diyelim. Polisin bu iki suçlunun ruhsatsız silah taşıdığına dair kanıtı var ve bu 1’er yıl hapis cezası demek. Polis ayrıca bu ikilinin birlikte banka soyduğundan şüpheleniyor fakat ellerinde yeterli kanıt yok. Bu yüzden ayrı odalarda sorgulanan suçlulara bir teklifte bulunuluyor: “Şuan seni 1 yıl içeride tutabiliriz ama banka soygununu itiraf edip, ortağını ele verirsen gitmekte özgürsün. Ortağın 20 yıl hapis cezası yer fakat ikiniz de suçu itiraf ederseniz, bu sefer 8’er yıl hapis ile cezalandırılırsınız.“

Merve ve Gözde vicdansız banka soyguncuları oldukları için sadece kendi alacakları cezayı düşünüp karar verecekler. Tabloda olası tüm tercihleri inceleyebiliriz. İkisinin de iki stratejisi var; itiraf etmek ya da sessiz kalmak. Merve şöyle düşünüyor “ Gözde’nin ne yapacağını bilmiyorum. Eğer sessiz kalırsa, benim için en iyisi itiraf etmek çünkü hapiste 1 yıl geçirmektense özgür kalırım. Eğer itiraf ederse, benim için en iyi strateji yine itiraf etmek çünkü 20 yıl hapis yatmaktansa 8 yıl daha mantıklı. Yani Gözde ne yaparsa yapsın, itiraf ettiğim durum benim için en iyisi.” Gözde de aynı şekilde düşünüp, itiraf etmenin Merve’nin stratejisi ne olursa olsun kendisi için en iyi tercih olacağının farkına varır. Sonunda ikisi de itiraf eder ve 8’ er yıl hapis ile cezalandırılırlar. Her iki oyuncunun da diğer oyuncudan bağımsız olarak kazancını maksimize ettiği bu tercihe Nash dengesi diyoruz. Eğer ikisi de sessiz kalsalardı, 1’er yıl hapis cezası ile kurtulabilirlerdi ama her oyuncunun sadece kendi çıkarını düşünmesi ikisi için de daha kötü bir sona sebep oluyor.

İki kişilik bir oyunda basit gibi görünse de, sosyal bilimlerde çok kullanılan bir kuram. Ekonomiyi düşünürsek, oligopol piyasalarda dengeyi bulmak bu yol ile mümkün. Mesela, OPEC (petrol ihraç eden ülkeler örgütü) dünyadaki petrol rezervlerinin çoğunu elinde bulunduruyor. Bu yüzden petrol fiyatlarında belirleyici rol oynuyor. Örgütün amacı, her üye ülke için üretim kotası belirleyerek fiyatı en yüksek şekilde tutmak. Yalnız şöyle bir problem doğuyor; her üye toplam kârdan daha fazla pay elde etmek istediği için üretimi arttırmaya meyilli ama üretim artarsa petrol fiyatı düşecek. Eğer ülkelerden birinin üretimini arttırdığı durumda, petrol fiyatları düşüyor ve bundan dolayı o ülkenin kendi kazancı da azalıyorsa, diyoruz ki piyasa Nash dengesindedir.

Nash dengesi bulacağımız daha birçok örnek verebiliriz; 2. Dünya savaşı sonrası Amerika ile Sovyetlerin askeri güç rekabeti, Boeing ve Airbus arasındaki üretim rekabeti ya da basit bir eşleştirme oyunu. İkili, üçlü oyunlarda dengeyi bulmak kolay fakat oyuncu sayısını arttırdığımızda işin içine matematik giriyor ve biraz hesap yapmak gerekiyor. Daha geniş çaplı bilgi edinmek isteyenler için  (kahvede arkadaşlarınızla kağıt oyunları oynuyorsanız bile biraz matematik bilmek işinize yarar.) N. Gregory Mankiw (Harvard University)- Principles of Economics kitabını öneririm.

Görsel için kaynak: http://levine.sscnet.ucla.edu/

Kaynaklar
1- Mankiw, N. G. (2014). Principles of Economics (7th Edition). Boston: Cengage Learning.
2- https://www.princeton.edu/main/news/archive